Hodge star の入口いりぐち

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、Hodge star を内積ないせきと向むき付づけに依存いぞんして、形式けいしきを補次元ほじげんの形式けいしきへ対応たいおうさせる操作そうさとして導入どうにゅうすることである。

用語ようごと定義ていぎ

Hodge starHodge star は、$$n$$n 次元じげんの内積空間ないせきくうかんで、$$k$$k 形式けいしきを $$n-k$$n-k 形式けいしきへ送おくる線形写像せんけいしゃぞうである。

方針ほうしん

Hodge star は、微分形式びぶんけいしきの言語げんごをベクトル解析かいせきの grad・curl・div と接続せつぞくする。外微分がいびぶんだけでは次元じげんが 1 つ上あがるが、Hodge star を組くみ合あわせると補次元ほじげんの量りょうへ移行いこうできる。

代表例だいひょうれい

$$R^3$$\mathbb{R}^3 の標準内積ひょうじゅんないせきと標準向ひょうじゅんむきで、

である。これは $$x$$x 方向ほうこうと垂直すいちょくな面要素めんようそへ対応たいおうする。

計算表けいさんひょう

$$R^2$$\mathbb{R}^2 の標準内積ひょうじゅんないせきと標準向ひょうじゅんむきでは、

である。$$R^3$$\mathbb{R}^3 では、$$*dx=dy\wedge dz$$*dx=dy\wedge dz、$$*(dx\wedge dy)=dz$$*(dx\wedge dy)=dz のように補次元ほじげんの形式けいしきへ対応たいおうする。

$$R^3$$\mathbb{R}^3 の標準ひょうじゅんの計算表けいさんひょうは次つぎの通とおりである。

計量けいりょうが必要ひつような理由りゆう

Hodge star は垂直すいちょくや長ながさの情報じょうほうを使用しようする。そのため内積ないせきなしには定義ていぎできない。また向むき付づけを反転はんてんすると、体積形式たいせきけいしきの符号ふごうが変化へんかし、Hodge star の符号ふごうも影響えいきょうを受うける。

例れいとして、$$dx$$dx に対応たいおうする補次元ほじげんの面めんは $$y,z$$y,z 方向ほうこうの面めんである。ただし「垂直すいちょく」や「単位面積たんいめんせき」を判断はんだんするには内積ないせきが必要ひつようである。向むきを反転はんてんすると体積形式たいせきけいしきが $$-dx\wedge dy\wedge dz$$-dx\wedge dy\wedge dz になるため、Hodge star の符号ふごうも変化へんかする。

grad・curl・div との関係かんけい

3 次元じげんでは、外微分がいびぶん $$d$$d と Hodge star $$*$$* を組くみ合あわせることで、gradient、curl、divergence の対応たいおうを記述きじゅつできる。たとえば divergence は、1 形式けいしきに対応たいおうする場ばへ $$*d*$$*d* を作用さようさせる構造こうぞうとして理解りかいできる。

ベクトル場ば $$\mathit{F}=(P,Q,R)$$\boldsymbol{F}=(P,Q,R) に対応たいおうする 1 形式けいしきを $$\alpha =Pdx+Qdy+Rdz$$\alpha=Pdx+Qdy+Rdz とする。このとき $$d\alpha$$d\alpha は curl に対応たいおうし、$$*d\alpha$$*d\alpha は curl を 1 形式けいしきとして戻もどす。また

であり、$$*d(*\alpha )=P_x+Q_y+R_z$$*d(*\alpha)=P_x+Q_y+R_z が divergence に対応たいおうする。

反例はんれいまたは限界げんかい

外微分がいびぶん $$d$$d は座標変換ざひょうへんかんと自然しぜんに両立りょうりつするが、Hodge star は計量けいりょうを変更へんこうすると変化へんかする。同おなじ形式けいしきであっても、Euclidean 計量けいりょうと曲まがった計量けいりょうでは Hodge star の結果けっかが一致いっちしない。形式けいしきの代数だいすうだけではなく、幾何きかの情報じょうほうを使用しようする操作そうさである。

どこまで成なり立たつか

Hodge star は内積ないせきと向むき付づけを必要ひつようとする。外微分がいびぶんとは異ことなり、純粋じゅんすいに位相的いそうてきな操作そうさではない。

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